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y=xcosx是周期函数吗

三界中学 2019-11-25 17:19:46 【高考专栏】 107人已围观

简介y=xcosx不是周期函数;证明:假设函数f(x)=xcosx存在正周期T0,则(x+T)cos(x+T)=xcosx对一切x成立,取x=0于是TcosT=0,所以T=π/2+kπ... 证明 证明:假设y=xcosx是周期函数, 因为周期函数有f(x+T)=f(x)

y=xcosx不是周期函数;证明:假设函数f(x)=xcosx存在正周期T>0,则(x+T)cos(x+T)=xcosx对一切x成立,取x=0于是TcosT=0,所以T=π/2+kπ...

y=xcosx是周期函数吗

证明

证明:假设y=xcosx是周期函数,

因为周期函数有f(x+T)=f(x)

xcosx=(x+T)cos(x+T)=xcosx*cosT-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT

所以cosT=1T=kπ/2

-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT=0

-xsinx*sinT-Tsinx*sinT=0

(x+T)sinx*sinT=0

只能是sinT=0,T=kπ和T=kπ/2矛盾

所以不是周期函数。

周期函数

对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上,任何一个常数kT(k∈Z,且k≠0)都是它的周期。并且周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期。

定义

设f(x)是定义在数集M上的函数,如果存在非零常数T具有性质:f(x+T)=f(x),则称f(x)是数集M上的周期函数,常数T称为f(x)的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的,则称它是函数f(x)的最小正周期。

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